Bêta paire-à-paire — pourquoi asymétrique

Deux questions différentes

Le bêta classique répond à une question : « combien le fonds X amplifie-t-il les mouvements de son indice de référence ? ». Il rapporte un fonds à un benchmark unique — typiquement le MASI, la famille MBI, ou un composite contractuel. Cette lecture est bien adaptée pour évaluer la sensibilité d'un fonds au marché de référence dont il dépend.

Mais lorsqu'on compare deux fonds entre eux, on pose une question différente : « si le fonds B bouge de 1%, combien bouge le fonds A en moyenne ? ». Cette question n'est plus rattachée à un indice de marché extérieur ; elle interroge directement le comouvement de deux portefeuilles.

Le bêta paire-à-paire formalise cette deuxième question. Pour deux fonds A et B observés sur une fenêtre commune, il se définit comme :

β(A vs B) = Cov(r_A, r_B) / Var(r_B)

où r_A et r_B sont les séries de rendements hebdomadaires des deux fonds, alignées par date sur l'inner-join des deux indices.

L'asymétrie n'est pas un bug

La formule ci-dessus n'est pas symétrique : la variance au dénominateur est celle du fonds de référence, pas une grandeur partagée. En inversant les rôles, on obtient :

β(B vs A) = Cov(r_B, r_A) / Var(r_A)

et puisque Var(A) ≠ Var(B) en général, β(A vs B) ≠ β(B vs A). C'est une asymétrie structurelle, pas un artefact statistique.

Le cas-école qui rend l'asymétrie évidente est celui d'un fonds Actions volatil A face à un fonds Monétaire stable B. La variance de A est élevée, la variance de B est minuscule. Les rendements partagés (la covariance) sont peu corrélés mais existent, parce que les rares mouvements du monétaire — fin de trimestre, choc soudain de taux — coïncident souvent avec des mouvements amplifiés des actions.

Dans cette configuration, on observe typiquement :

• β(A vs B) ≈ 0 — le monétaire ne suit pas l'actions (le quotient cov/var(B) est proche de zéro parce que cov est petite et var(B) est très petite, mais leur ratio reste bas)
• β(B vs A) ≫ 1 — la situation inverse : la covariance divisée par var(A) (très grande) reste modeste, mais elle multiplie l'écart-type de A, lui aussi grand, ce qui amplifie l'effet apparent

Un bêta symétrique aurait masqué cette asymétrie. La matrice paire-à-paire la rend immédiatement lisible : la cellule en haut à droite ne ressemble pas à celle en bas à gauche.

Comment lire la matrice

La matrice affichée dans le comparateur croise les fonds sélectionnés en ligne et en colonne. La cellule à la ligne i et à la colonne j donne β(fonds_i vs fonds_j) — soit la sensibilité du fonds en ligne aux mouvements du fonds en colonne.

La diagonale est forcée à 1 par construction : un fonds suit ses propres mouvements à coefficient identité (β(A vs A) = Var(A)/Var(A) = 1). C'est une convention d'affichage — la cellule diagonale n'apporte pas d'information mais préserve la régularité de la grille.

Les cellules hors-diagonale peuvent être vides — affichées « — » — lorsque les deux fonds ne partagent pas suffisamment d'observations communes sur la fenêtre choisie (moins de 52 semaines pour la fenêtre 1A, moins de 156 pour la fenêtre 3A). Le seuil garantit que le bêta calculé est statistiquement utile.

L'évolution annuelle d'une paire

Sous la matrice, un tableau propose la lecture en évolution annuelle d'une paire choisie. Le bêta y est calculé indépendamment sur chaque année calendaire, sans recouvrement entre années — coupure dure 31/12 vers 01/01, plutôt qu'une fenêtre glissante.

Ce choix méthodologique sert la lisibilité : chaque colonne du tableau représente une année entière, indépendamment lisible. Une fenêtre glissante aurait mélangé les fins et débuts d'année et brouillé l'attribution narrative (« en 2023, le fonds était… »).

Pour chaque paire (A, B), le tableau affiche deux lignes : β(A vs B) et β(B vs A). On voit ainsi à la fois l'asymétrie et son évolution temporelle. Une paire dont l'asymétrie se stabilise dans le temps suggère une relation structurelle ; une paire dont les directions s'inversent d'année en année suggère un comouvement plus aléatoire.

Une cellule vide sur une année donnée — typiquement l'année en cours quand on est en début d'année, ou une année où l'un des deux fonds n'existait pas encore — signifie moins de 26 semaines d'observations communes (≈ 6 mois). Le seuil est ici plus bas que celui de la matrice : un trimestre suffit rarement, six mois deviennent informatifs.

Limites et lecture prudente

Le bêta paire-à-paire est une mesure de comouvement, pas de causalité. Un β élevé entre A et B ne dit pas que A suit B, ou inversement ; il dit simplement que les deux fonds tendent à bouger ensemble — peut-être parce qu'ils partagent une exposition commune au MASI, aux taux, ou à un facteur macro qu'aucun des deux ne contrôle.

Pour la même raison, un β paire-à-paire n'est pas un substitut au bêta vs benchmark. Les deux lectures sont complémentaires : la première interroge la relation entre deux portefeuilles spécifiques, la seconde interroge la sensibilité d'un portefeuille à un marché. Lire l'une sans l'autre passe à côté de la moitié de l'information.